Como chegamos a Marte?

Transferência de Hohmann

Tempo de viagem

258,9dias

Tamanho da elipse / semi-eixo maior

1,262UA

Metade do eixo maior da elipse

Fase ideal de lançamento

44,3°

Marte à frente da Terra

Repetição da janela ideal

780dias, até o alinhamento se repetir

MAPA ORBITAL

Terra → Marte

Pronta para partir

+ REFERENCIAL HELIOCÊNTRICO
Distâncias à escala · corpos simbólicos

TerraMarteTransferência

TEMPO DE MISSÃODia 0 / 259

VELOCIDADE DA NAVE32,73 km/s

DISTÂNCIA AO SOL1,00 UA

PARTIDACHEGADA

Transferência de Hohmann

Como é escolhida a trajetória?

Δv soma as duas mudanças do vetor velocidade, incluindo a direção. É o critério usado para comparar as manobras; não calculamos o consumo de combustível. As fórmulas de «Aprender» e «Desafios» referem-se à transferência de Hohmann.

Momentos da transferência

Duas manobras breves, separadas por um longo voo sem propulsão.

01

Manobra de partida

Variação de velocidade na partida.

Impulso inicial · duração desprezada no modelo

02

Voo sem propulsão

Entre as duas manobras, só atua a gravidade do Sol neste modelo.

Desde o fim da manobra de partida até à manobra de chegada

03

Chegada à órbita de destino

Estado imediatamente antes da segunda manobra.

Impulso final · duração desprezada no modelo

Comparar cenários

Exercícios de Hohmann

Tempo de viagem, fase de lançamento e efeito da massa.

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Guia de física

Consideramos um corpo de massa a orbitar o Sol, de massa , com .

Unidades e grandezas

A unidade astronómica (UA) é uma unidade de comprimento próxima da distância média entre os centros da Terra e do Sol. O seu valor definido é:

: Distância ao centro do Sol, não à superfície. Numa órbita circular, é o raio.
: Massa da nave e massa do Sol, respetivamente, em kg.
: Constante da gravitação universal: .
: Parâmetro gravitacional do Sol. Nas contas desta app usamos .
: Rapidez orbital, período de uma volta completa e tempo decorrido. O tempo de viagem é apenas parte do período da órbita de transferência.

Usa unidades compatíveis: com em km³/s² e distâncias em km, obténs velocidades em km/s e tempos em segundos. Para forças em N e energias em J, usa metros, segundos e quilogramas.

Gravitação e energia potencial

A força gravítica aponta para o Sol. Se é o vetor unitário que aponta do Sol para a nave, o sinal negativo indica o sentido contrário:

A força mede-se em newtons (N). A energia potencial gravítica, escolhendo zero a uma distância infinita, é:

mede-se em joules (J). Aumentar a distância torna a energia potencial menos negativa: é preciso fornecer energia para afastar a nave do Sol.

Órbita circular: velocidade, período e energia

Num movimento circular uniforme, a força resultante tem módulo e aponta para o centro. A gravidade fornece essa força; não existe uma força centrípeta adicional.

Uma volta percorre . Logo, o período é:

A energia cinética é positiva. A energia mecânica total soma a energia cinética e a potencial:

Com esta escolha do zero da energia, corresponde a uma órbita ligada. Numa órbita circular mais afastada, a rapidez é menor, mas a energia total é maior (menos negativa).

Quanto maior o raio, menos negativa é a energia total. Cada ponto representa uma órbita circular diferente, com as mesmas massas.

Posição angular e movimento dos planetas

No modelo circular, o ângulo cresce uniformemente a partir da posição inicial :

é a velocidade angular, em rad/s se está em segundos. Para trabalhar em graus e dias, usamos o símbolo :

Os ângulos repetem-se a cada . Estas expressões de movimento uniforme aplicam-se aos planetas circulares do modelo, não à nave na elipse.

Elipse: geometria, período e energia

O: Centro da elipse
F₁: Foco ocupado pelo Sol
F₂: Segundo foco

A distância da nave ao Sol é medida a partir de F₁, não do centro O.

: Semi-eixo maior e semi-eixo menor: metade dos comprimentos dos dois eixos.
: Distância do centro a cada foco: .
: Excentricidade, sem unidades: . Uma circunferência tem .

A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é . As distâncias mínima (periélio) e máxima (afélio) ao Sol são:

Nas fórmulas do período e da energia total da órbita circular, substituímos o raio por :

Durante o voo sem propulsão, mantém-se constante. A rapidez e as energias cinética e potencial variam com . Não se substitui por na expressão da energia potencial instantânea.

ReferênciasOpenStax · Órbitas e energia ↗OpenStax · Leis de Kepler ↗NASA/JPL · Unidades e constantes ↗

Os índices e indicam a origem e o destino; todas as velocidades são medidas em relação ao Sol.

A transferência de Hohmann

Uma elipse tangente às duas órbitas circulares permite passar de uma para a outra com duas manobras breves. A nave percorre metade da elipse entre os pontos de tangência.

T: Terra na partida
M₀: Marte na partida
M₁: Encontro com Marte

Trajetória da nave

Órbita da Terra

Órbita de Marte

Terra–Marte · indica a fase na partida. As setas e representam as duas manobras. Os símbolos dos corpos não estão à escala.

são os raios das órbitas circulares e é o tempo de viagem de Hohmann. Para Terra–Marte, Hohmann minimiza o entre transferências ideais de dois impulsos entre estas órbitas circulares coplanares. Não é uma garantia de mínimo universal quando se admitem outras estratégias.

Como calcular as duas manobras

Conservar a energia na elipse permite calcular a rapidez em qualquer distância :

são as velocidades circulares da origem e do destino. são as velocidades na elipse, logo depois da primeira manobra e logo antes da segunda:

Em Hohmann, as velocidades são tangentes e têm o mesmo sentido nos pontos de encontro. Os módulos das variações são:

Na viagem Terra–Marte, ambas as manobras aumentam a rapidez heliocêntrica. Numa transferência para uma órbita interior, ambas a diminuem. O mede-se em km/s: é uma variação de velocidade, não uma aceleração.

Entre os impulsos, o motor está desligado e a gravidade curva o movimento. Fora de Hohmann, a direção também pode mudar e calcula-se o módulo da diferença dos vetores velocidade.

Quando partir: fase e repetição da janela

Colocamos a origem no ângulo zero no instante da partida. Na chegada de Hohmann, a nave está a . O destino deve percorrer o ângulo que falta durante a viagem:

é a velocidade angular do destino, em graus/dia se está em dias. Aqui, usa também em dias. Reduzimos a fase ao intervalo de −180° a +180°; uma fase positiva coloca o destino à frente.

A separação angular entre os planetas varia à taxa . O período sinódico é o tempo até esse alinhamento se repetir:

Para Terra–Marte, os resultados são aproximadamente 259 dias de viagem, 44,3° de fase e 780 dias entre alinhamentos. Isto não fornece uma data de lançamento real.

Energia orbital e variação nas manobras

A energia total da órbita é diferente da soma das variações de energia cinética apresentada no simulador. Cada impulso muda a velocidade praticamente sem mudar a posição; nesse instante, a energia potencial não varia.

Com velocidades em m/s e massa em kg, obténs J; divide por um milhão para obter MJ. Com velocidades em km/s e massa em kg, o resultado numérico destas expressões já corresponde a MJ.

Assumimos massa constante, sem descontar combustível. Este valor não mede energia química do motor nem consumo de combustível. No simulador, só é apresentado na fase de Hohmann.

Exemplo calculado · Terra → Marte

ReferênciasNASA · Trajetórias e transferências ↗NASA/JPL · Calcular a janela de lançamento ↗

O simulador é um modelo heliocêntrico 2D para estudar transferências. Não é um planeador de missões reais.

Parâmetros

Origem, destino, massa da nave e fase inicial. Cada planeta tem um raio orbital fixo; as órbitas são circulares, no mesmo plano e percorridas no mesmo sentido.

Fase ideal

Usamos as expressões analíticas de Hohmann do separador Engenharia. O controlo da fase tem passos de 0,1°: valores a até 0,05° da fase ideal são ajustados ao valor ideal exato.

Outras fases

Resolvemos o problema de Lambert: ligar a posição de partida à posição futura do destino num tempo escolhido. Comparamos 201 tempos entre 0,4 e 2 vezes o tempo de Hohmann e refinamos a melhor região encontrada.

Critério de seleção

Escolhemos o menor encontrado nessa procura, somando as duas mudanças vetoriais de velocidade. Só admitimos elipses prógradas, sem voltas completas e sem atravessar o Sol. Não é uma otimização global.

Movimento da nave

A rapidez da nave varia ao longo da elipse. A sua posição em cada instante é calculada a partir da equação de Kepler:

é a anomalia média e a anomalia excêntrica: dois ângulos auxiliares, em radianos, usados no cálculo. Não são a massa do Sol nem a energia da órbita. é a excentricidade.

As velocidades dos planetas são angulares constantes. A rapidez da nave resulta da expressão . Para resolver os exercícios de Hohmann, não precisas de resolver numericamente a equação de Kepler.

Pressupostos e limites

Só atua a gravidade do Sol durante o voo. A massa da nave é constante e não altera a trajetória.
Há dois impulsos instantâneos. A animação começa depois da manobra de partida e termina antes da manobra de chegada. Não calcula tempos de queima nem correções de trajetória.
As velocidades e o são heliocêntricos. Não incluem descolagem, fuga à gravidade da Terra, captura por Marte ou aterragem.
Não usamos efemérides nem datas reais. Não incluímos inclinações orbitais, perturbações de outros corpos, assistências gravitacionais ou propulsão contínua.
As distâncias orbitais partilham a mesma escala no mapa; os símbolos dos corpos são ampliados para serem visíveis.
Uma solução de Lambert só é aceite se o erro de encontro calculado não ultrapassar 1 km. Isto é um critério numérico, não uma previsão da precisão de uma missão real.
«Aprender», «Desafios» e o exemplo deste guia usam sempre Hohmann, mesmo quando o simulador mostra uma trajetória alternativa.
Plutão está incluído como planeta anão para comparação.

Dados e unidades usados no código

Os cálculos orbitais usam km, segundos e kg. As distâncias são convertidas para UA, os tempos para dias e as energias para MJ na apresentação. Os valores intermédios não são arredondados.

Raios das órbitas circulares adotadas
Corpo	Raio (UA)

Estes raios são aproximações fixas para o modelo educativo; os planetas reais descrevem órbitas elípticas. O parâmetro gravitacional adotado é o indicado em Conceitos fundamentais.

ReferênciasESA · O problema de Lambert ↗Maggie Lieu · Transferência de Hohmann ↗